Mapas de Karnaugh: descubre su función

El modelo propuesto para hoy se refiere a los mapas de Karnaugh, conocido también como tabla de verdad, y se denomina de este modo, en virtud de que expone determinados valores que se pueden lograr con una o diversas proposiciones, sean sus fluctuaciones sencillas o más complejas, pero usando ilustraciones gráficas. Por tanto, si eres un estudiante de matemáticas, estadística o lógica, te conviene revisar esta entrada, porque será de mucha utilidad.

Mapas de Karnaugh

Mapas de Karnaugh: ¿Qué es? y su función

Como bien se refirió anteriormente, los mapas de Karnaugh se le denomina también tabla de la verdad o diagrama de Veitch, además de la abreviatura Mapa-K o KV, ello obedece a su uso en forma ilustrativa para presentar y esquematizar algunas operaciones algebraicas de tipo Booleana. Nació como método en 1953 de la mano de Maurice Karnaugh en cuyo honor lleva su nombre, un notable físico y matemático que laboraba en los laboratorios Bell.

La intención en crear los mapas de Karnaugh es convertir o simplificar ciertas funciones aritméticas, sin tener que recurrir a tantos cálculos, es decir, disminuir y/o simplificar cálculos matemáticos muy amplios y complejos. Aportando de ese modo resultados más sencillos y convenientes, producto de la descomposición de funciones booleanas, y al mismo tiempo, sacar provecho de la capacidad de la mente humana en su habilidad para reconocer patrones, entre otras formas de expresión que conllevan al análisis.

De esta forma, se presenta a Karnaugh como una forma representativa bidimensional relativa a la tabla de verdad contentiva de la función que se desea simplificar. Ello en vista de que dicha tabla con una función de N variables con 2N filas, donde dicho mapa K deberá a su vez contar con 2N cuadrados. Por su parte, estas variables de la propuesta deberá ser ordenada atendiendo a su peso y de acuerdo al código Gray, con la idea de que sólo una de las variables varíe en las celdas adyacentes.

Por su parte, la transferencia de los términos de la tabla de verdad a los mapas de Karnaugh se lleva a cabo directamente guardando en su interior un 0 ó un 1, según el valor tomado de cada fila. Además, estas tablas de Karnaugh se pueden diseñar con mucha facilidad manualmente, y con contener funciones de hasta 6 variables, donde cada función que posee más variables, será a su vez, más eficiente el uso de software especializado.

Cómo se definen los mapas de Karnaugh

En términos conceptuales se debe precisar que los llamados mapas de Karnaugh obedecen a un método de matriz gráfica con la intencionalidad de simplificar circuitos lógicos. La misma se suele usar como un extensor de un contenido lógico, con el fin de mejorar u optimizar el vínculo existente entre sus variables, llámese estas A,B,C, pero sin tocar o modificar su salida, denominada Y.

Se puede afirmar entonces, que esta caso obedece a un mecanismo económico en el diseño circuitos digitales. Y al mismo tiempo, como eficientes herramientas de diagrama ampliamente usados para la simplificar y minimizar muchas funciones y trabajos algebraicas Booleanas, brindando la oportunidad de expresarlo de forma gráfica para el reconocimiento de patrones, al tiempo de disminuir la necesidad de hacer largos cálculos booleanos.

Mapas de Karnaugh

Como bien se señaló, posee ciertos connotación con la tabla de verdad, puesto que es capaz de proyectar el total de eventuales valores que pueden adoptar sus variables, tanto de entrada como de salida, obtenidas por cada valor. Pero además se define como una forma de secuencia de celdas, donde cada de ellas adopta un valor binario de las variables de entrada.

En este mismo sentido, aquellas variables de entrada serán capaces de combinarse de 16 maneras diversa, por lo tanto, el mapa contendrá 16 celdas, desplegadas en una cuadrícula de 4 × 4.

El propósito por la cual en los tabloides con 4 variables, exista una transición de una columna rotulada como 01 a otra 11, en lugar de 10 como su siguiente valor binario, obedece a que el mismo es un requisito en la elaboración  propiamente del mapa que en cada nueva columna (de izquierda a derecha) variará sólo una vez.

De tal manera, que 01 es seguido del 11, siendo por tanto, que sólo variará el primer bit, lo cual no tiene lugar si se pasará del 01 al 10, ya que cambiarían los dos bits al mismo tiempo. Donde tal combinación de dígitos binarios es la resultante de la función por cada posible combinación de entradas.

Una muestra de ello, pudiera ser una celda existente en la esquina superior izquierda del mapa, cuyo valor es 0, puesto que el resultado de la función es ƒ = 0 cuando A = 0, B = 0, C = 0, D = 0. Asimismo sucede en la esquina inferior derecha, donde el valor es 10, en vista de que el resultado de la función es ƒ = 10 cuando A = 1, B = 0, C = 1, D = 0.

Así, un vez elaborado el mapa de Karnaugh, lo que sigue es optar por el conjunto de términos llamados subcubos, de forma tal, que se consiga por lo menos una cantidad menor de subcubos en lo posible.

Tales subcubos se toman en grupos de rectángulos que poseen todos los 1 del mapa, y estas zonas deben ser potencia de 2 (como 1, 2, 4, 8, n), debiendo intentar agrupar la mayor cantidad de 1. En suma, se deben considerar estos elementos, al pretender elaborar dichos grupos de unos (subcubos) como los que siguen:

Mapas de Karnaugh

    • Se deben usar todos los 1 existentes en el mapa.
    • Resulta más útil general por lo menos un número menor de grupos.
    • Todos los 1 pueden estar presente en otros grupos.
    • La cantidad de 1 en un grupo, debe ser compatible con cualquier potencia de 2.
    • Mientras más grande sea un grupo, mucho mejor resultará la simplificación de la función.
    • No se requiere que el total de grupos ostenten las mismas dimensiones.

En este mismo sentido se debe acotar, que el término a seleccionar, dependerá de la finalidad de lo que desee hacer o desarrollar con la simplificación, toda vez que la misma se puede hacer a través del uso de minitérminos o por maxitérminos, según la intención.

Aplicaciones

En cuanto a las aplicaciones de los mapas de Karnaugh o diagramas, estos se usan generalmente para la simplificación de resoluciones concebidas y definidas en lógica Booleana, así como en la construcción de módulos de clasificación, selección y control de calidad de ciertos elementos elaborados, entre otras aplicaciones de utilidad para estos campos.​

Características

Una vez abordadas las partes descriptivas y conceptuales de los mapas de Karnaugh, es tiempo de pasar a describir algunas de las propiedades de este mecanismo numérico,  que aportan una amplia gama de funciones y objetivos a las personas que suelen usar este método:

    • Representa uno de los mecanismos de mayor uso en operaciones de minimización de operaciones numéricas booleanas.
    • Se le suele reconocer además, como la tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch.
    • Se simboliza gráficamente y de forma abreviada como K-Mapa o KV-Mapa.
    • Se descubrió en 1950, aunque no hay precisión, puesto que se habla de en algunas referencias de 1953; en cualquier caso, es obra de la la brillante mente de Maurice Karnaugh, un notable físico y matemático de los laboratorios Bell.
    • Los mapas de Karnaugh, se emplean también con fines de achicar o minimizar operaciones de adición de productos o productos de sumas.
    • Se consigue con la suma de productos, así como los productos de otras sumas.
    • Se señala que la expresión conseguida como producto, será mínima.
    • Obedece a una serie de cuadrados.
    • Se fundamenta en funciones mecánicas.
    • Sus cuadrados constituyen una línea de la tabla de verdad.
    • Permite observar en la tabla, un despliegue de valores sobre alguna propuesta compuesta.
    • Cada combinación de valores de verdad, permite establecer a sus componentes.
    • Representa una tabla de verdad de una función de N variables.
    • Posee 2N filas.
    • Tiene un utilidad de extensión de una tabla lógica, con la idea de optimizar la relación de sus variables ABC, y sin alterar su salida Y.
    • Siempre ofrece 2N cuadrados.
    • Se agrupa en 2 casillas eliminando siempre 1 variable, y al mismo tiempo, agrupando 4 casillas con eliminación de 2 variables, y así sucesivamente.
    • Todo cuadrado posee como factor un 0 ó un 1.
    • Se comporta según el valor que toma la función en cada una de sus celdas.
    • Se puede usar para realizar funciones de hasta 6 variables.
    • Tienen una función menor de 2 niveles como Suma de Productos.
    • Existe la alternativa de diversas expresiones, pero a su vez, equivalentes.
    • En el momento que se agrupan, se eliminan ciertas variables que se complementan entre sí.
    • Debido a que las casillas están disponible entre una casilla y otra, aprovecha los espacios horizontales o verticales, para que haya una adyacencia lógica.
    • En los mapas de Karnaugh, aquellos minitérminos adyacentes, se perciben como 2 términos menores que difieren entre sí por una variable.
    • Los grupos tiene asociado un determinado de producto, donde la expresión final expresará un OR, o sumatoria del total de términos de dichos productos.
    • Cuando se combinan las celdas en los mapas de Karnaugh, estos se conforman en un número de mintérminos, con potencia de 2.
    • Resulta de gran utilidad y practicidad para operaciones  de hasta 6 variables.
    • Al agruparse en una cantidad mayor a 1, el término van disminuyendo los literales.
    • Cuando se agrupan 4 unos (1) y a su vez se eliminan 2 variable, por lo que queda un término de 2 variables, y en caso de agrupan 8 unos (1) se eliminan 3 variable hasta lograr un solo término de una sola variable.
    • Su función se encuentra expresada en forma canónica.
    • Es posible lograr un circuito digital perfectamente optimizado en las operaciones algebraicas a la electrónica.
    • Es completamente válido hacer agrupaciones de los minitérminos en los mapas de Karnaugh, para lograr resultados más expeditos.
    • La elección del mapa ideal va en función del número de variables en la entrada.

Procedimiento de los mapas de Karnaugh

Como bien se indicó de forma suficiente, los mapas de Karnaugh obedecen a un procedimiento para simplificar algunas funciones mecánica; por tanto, no se maneja ninguna proposición o ley matemática. La simplificación de funciones se puede llevar a cabo con 2, 3, 4 , … o más variables de manera sencilla. Asimismo, el diagrama gráfico matricial posee un conjunto de pasos para conseguir los resultados estimados. A continuación se dan a conocer los pasos para alcanzar los resultados:

Primer paso

Es pertinente que previo al diseño del mapa K se registre en una tabla lógica todas las variables ABC que se deben procesar para conseguir resultados requeridos con Y. Veamos su ejecución de salida Y:

    • Registrar en la tabla lógica las variables ABC.
    • Luego la lógica digital procesará las variables, a fin de lograr el Y requerido.
    • Estos nuevos valores serán relativamente voluminosos, trayendo más costos de implementación.
    • Al simplificar con mapas de Karnaugh, se optimizan los valores de la tabla a la tabla, colocando 1 a la función Y en su coordenada correspondiente.

Segundo paso

En este paso se diseña el mapa definiendo sus coordenadas de la matriz. Este puede ser un eje horizontal, que se puede definir con las variables AB, y al eje vertical con C. Tales variables deben ser complementarias, por lo que se marcan las negadas con una línea encima ( ¯) o bien una comilla simple (´). Su proceso es como sigue:

    • Definir las coordenadas de la matriz.
    • Ir en el eje horizontal para definir las variables AB, mientras que al eje vertical se identifica con la variable C.
    • Estas variables deben ser complementarias, por eso se deben identificar las variables negadas con una línea superior o comilla.

Tercer paso

En este caso, se procede a trasladar hacia la matriz las citadas variables ABC de la tabla 2, lo que corresponde al valor alto (1) de la salida ya conocida como Y, en sus coordenadas pertinentes; 1 para la coordenada A BC´; otro 1 para las citadas líneas de coordenadas AB´C; mientras que el último 1, se ubica para la A´BC. Tales valores se conocen en el argot como minterms; su proceso es:

    • Llevar a la matriz las variables ABC de la respectiva tabla asignando el valor alto de la salida Y.
    • Realizar sus correspondientes coordenadas.
    • Donde 1 es para la coordenada A’BC’; 1 para la ABC’ y 1 para la A’BC.
    • Tales valores se les llama minterms.



Cuarto paso

Desde este punto, se inician las operaciones de simplificación en el uso de los mapas de Karnaugh. Donde los ya referidos minterms contiguos se adicionan a la matriz, dejando sin efecto aquellas variables adicionadas.

En este caso, la sumatoria de minterms de Z erradica a la variable A, dado que se refleja de manera complementaria (A’ y A). Todo ello se evidencia con la operación booleana: es decir, a través de la tabla karnaugh; cuyos efectos prácticos es que una variable se elimina cuando se adjuntan en las sumatorias.

Vale agregar, que la sumatoria de Z + X proporciona una combinación abreviada de variables de la verdadera tabla. Quedando de este modo, el circuito lógico ya segmentado, al tiempo de cumplir con la misma tarea lógica que proponen los mapas de Karnaugh. Con dicha conversión de circuitos lógicos, fundamentada en este método, se logra optimizar dicho circuito, reduciéndolo de 8 a 5 compuertas digitales. El proceso resumido sería:

    • Se lleva a cabo la simplificación usando mapas de Karnaugh.
    • Los minterms contiguos se adicionan, erradicando las variables complementarias.
    • Particularmente en la suma de los minterms de Z, se elimina la variable A, puesto que se muestra en su forma adicionadas.
    • Persiste la operación booleana.
    • Se define el procedimiento en una variable, la cual al eliminarse se complementa en las sumas.
    • También está la sumatoria de Z + X, para obtener la coordinación abreviada de la variables de la verdadera tabla.
    • Por último, el circuito lógico quedará simplificado, cumpliendo de este modo con esta función lógica.

Ventajas de los mapas de Karnaugh

Este modelo a cargo del Ingeniero Maurice Karnaugh se consolidó como una forma inédita para simplificar y aminorar las funciones a través de la confección de instrumentos del mismo nombre, como las tablas de Karnaugh, ofreciendo a cambio una diversidad de beneficios asociados, tales como los que se indican a continuación:

    • Los mapas de karnaugh brindan la oportunidad al usuario de transformar la tabla de verdad de una ecuación booleana, en una forma más simple y practica, como la SOP minimizada.
    • Pone a disposición del usuario algunas normas genéricas y simples que permiten llegar a la simplificación de funciones.
    • Resalta por proporcionar una mayor facilidad de uso a través del método.
    • Permite acoplar el procedimiento para convertirlo en uno más rápido y eficiente, distinto de otros métodos de simplificación en el Álgebra de Boole, que son pesados y complejos.

Reglas de los mapas de Karnaugh

Con la finalidad de realizar el diagrama de simplificación, lo primero es cumplir con ciertas normas específicas al detalle, y para tal fin, enseguida se explicarán brevemente  alguna de estas reglas, y que todo usuario debe acatar:

    • Todas las agrupaciones o términos a valorar, debe tener sólo el número 1.
    • Dichas agrupaciones tienen lugar sólo a través del método horizontal y vertical.
    • Hay que valorar que con las agrupaciones deben poseer 2n elementos, de forma tal que cada grupo contentivo a su vez, un grupo de 1, 2, 4,8,… 2n cantidad de número de uno a uno.
    • A fin de conseguir una mejor simplificación, lo primero es considerar el grupo más grande posible.
    • Se requiere tomar en consideración a todo número 1.
    • Brinda la posibilidad de rezagar grupos de 1.
    • Se pueden conformar grupos producidos por las celdas extremas de la tabla.
    • Se debe considerar el menor número de agrupaciones, para poder cumplir en su totalidad todas las reglas precedentes.

Pasos para la Simplificación de los mapas de Karnaugh

Usando el modelo gráfico aportado por los mapas de Karnaugh, es posible facilitar el número de variables de entrada, por lo que se sugiere usar entre 2 y 5 variables. En vista de ello, enseguida se dejan los pasos sugeridos que permiten llevar a cabo esta tarea simplificativa de forma expedita:

Se dibuja un tabla de Karnaugh

Enseguida se muestra de forma ejemplificada, para montar las tablas de Karnaugh:

    • Cuenta con diversas celdas como 2n, donde n representa el número de variables.
    • Una muestra de esta premisa es disponer de 2 variables en la tabla, para lograr 4 casillas, para 3 variables será de 8 casillas y para 4 variables de 16 casillas.
    • Por último, se puede observar la forma que muestran las tablas, atendiendo a la cantidad de variables de entrada.

Combinaciones de las variables de entrada

En este caso, la tabla obtenida tendrá como finalidad que todos los estados de salida oscilen entre 0 o 1, a los fines de disponer de diversas combinaciones en sus variables de entrada, además de:

    • Se puede tener como ejemplo, una tabla de hasta 3 variables.
    • Colocar las variables de A y B sobre la línea del vértice superior, mostrando las respectivas columnas.
    • En dichas columnas de la tabla se logran todas las posibles combinaciones de estas 2 variables, como son 00, 01, 11 o 10.
    • Sobre el área de las fila se ubica la otra variable restante.
    • Por su parte, esta variable llamada C, así como sus eventuales estados en cada fila, pueden ser 0 o 1.
    • Se debe considerar que los 0 y los 1 existentes en cada variable se encuentren debidamente ordenados para mostrar en las tablas obtenidas.
    • Es obligante que al ir de una combinación a otra en la tabla, se modifique el valor de alguna de las variables.

Relleno de los valores de salida

Ya con la tabla o mapa de Karnaugh debidamente diseñada se procederá a llenar todos los eventuales valores que adopte la salida para cada rubro de valor de entrada; donde el usuario podrá proponer otros valores, veamos las siguientes propuestas:

    • Con 2 posibilidades, serán las que tenga la tabla de la verdad, o bien que se disponga, atendiendo a la función lógica del circuito.
    • Por lo general se construye una tabla de la verdad como complemento.
    • Luego de lo anterior, se consigue la función lógica con la tabla de la verdad obtenida.
    • De disponer del método de la verdad, se debe colocar un 0 en el cuadro para señalar la unión de las variables salientes, donde este valor 0 será el de dicha tabla de la verdad, mientras que el 1 en el cuadrado donde la unión de dichas variables salientes, corresponde un 1 en la tabla.
    • En el supuesto de disponer de una tarea lógica, se debe tomar en consideración que las uniones de variables de los rubros de la función, ya que serán el correspondiente a las de salida con un valor de 1.

Agrupación de 1

Corresponde en este caso agregar, que el ser ser es fijar grupos de 1 en 1; de 2 en 2;  de 4 en 4; de 8 en 8, y así sucesivamente, pero además de ello:

    • Cuando se agrupan los 1 de la tabla se llevan a cabo diversos grupos de 1 de 2n.
    • Siempre se sugiere hacer grupos con la mayor cantidad posible de 1, ello sin importar que los mismos pertenezcan a diversas agrupaciones.
    • También se deben cumplir la formulación de las agrupaciones se lleven a cabo de forma vertical o en horizontal, pero jamás en diagonal.

Obtención de una nueva función simplificada

Sobre este particular, se tiene que en esta caso se logra un término por cada grupo de 1 que a su vez, obedece a un producto sumado de productos; así como los siguientes casos:

    • Todos los productos se suman.
    • Se consigue nuevas funciones simplificadas.
    • Para conseguir el término de la función, hay que optar por un grupo de 1, donde a su vez se verifica si alguna variable altera su valor.
    • En el caso de cambiar el valor, bien sea de 0 a 1 o de 1 a 0, siempre hay que eliminar esa variable que cambia.

¿Por qué se debe eliminar las variables que cambian?

Esto es debido a que una vez se consiga el valor, hay que tener presente una variable que a su vez cambie de valor dentro de un grupo de 1, dicha variable se multiplica hasta 2 veces una invertida y otra no invertida, donde está la Y ó 0 que se pretende simplificar con la función.

Mapas de Karnaugh para simplificar circuitos

En vista de que el el tema los mapas de Karnaugh, puede resultar complejo de entender por alguien que se esté iniciando en este mundo lógico, se propone la revisión de del siguiente vídeo, en el cual se explica detallada y gráficamente la manera ideal para llevar a cabo una sustitución en los circuitos.




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